Generating integrable one dimensional driftless diffusions

A criterion on the diffusion coefficient is formulated that allows the classification of driftless time and state dependent diffusions that are integrable in closed form via point transformations. In the time dependent and state dependent case, a remarkable intertwining with the inhomogeneous Burger’s equation is exploited. The criterion is constructive. It allows us to devise families of driftless diffusions parametrized by a rich class of several arbitrary functions for which the solution of any initial value problem can be expressed in closed form. We also derive an elegant form for the master equation for infinitesimal symmetries, previously considered only in the time homogeneous case. To cite this article: P. Carr et al., C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 343 (2006). © 2006 Académie des sciences. Published by Elsevier Masson SAS. All rights reserved. Résumé Une méthode pour génerer des diffusions intégrables dans le cas unidimensionelle. Nous présentons une condition nécessaire et suffisante sur le coefficient de diffusion g(x, t) d’une diffusion sans drift, afin que celle-ci puisse se réduire, par des transformations ponctuelles des variables dépendentes et indépendantes, à la forme canonique de Lie ut − 2uxx + A x2 u = 0 où A ∈ R. Lie a démontré que celle-ci est la forme canonique d’une diffusion dont le groupe de symétrie est de dimension quatre ou six. Notre résultat complète donc celui de Lie, en donnant une condition locale intrinsèque sur g rendant possible une telle réduction, ainsi qu’une condition constructive, dans la mesure où elle nous permet de construire de façon explicite la solution fondamentale de l’équation correspondante. Pour citer cet article : P. Carr et al., C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 343 (2006). © 2006 Académie des sciences. Published by Elsevier Masson SAS. All rights reserved. Version française abrégée Considérons le problème consistant à trouver la probabilité de transition d’une diffusion dxt = g(xt , t)dWt , t ∈ [0, T ] sur un espace de probabilité filtré (Ω,B,P ), où Wt est un mouvement Brownien uni-dimensionel. Il est bien connu que résoudre ce problème équivaut à déterminer la solution fondamentale de l’équation rétrograde ut + 1 2 g2(x, t)uxx = 0 avec condition finale u(ξ,T )= δξ (x). (1) E-mail addresses: [email protected] (P. Carr), [email protected] (P. Laurence), [email protected] (T.-H. Wang). 1631-073X/$ – see front matter © 2006 Académie des sciences. Published by Elsevier Masson SAS. All rights reserved. doi:10.1016/j.crma.2006.05.025 394 P. Carr et al. / C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 343 (2006) 393–398 Un problème de grande importance en physique et en mathématiques financières est de pouvoir exhiber cette solution fondamentale sous une forme explicite. Lie, voulant classifier toutes les équations aux dérivées partielles du second ordre qui puissent se résoudre par un processus « d’intégration », a démontré le théorème suivant : Proposition 0.1 (Lie [13]). Soit La,b,cu≡ ut + a(x, t)uxx + b(x, t)ux + c(x, t)u= 0 (2) avec a(x, t) = 0. L’algèbre de Lie principale LP (c.a.d. l’algèbre de Lie admise par l’équation (2)) ayant pour coefficients a, b, c, admet les opérateurs de symétrie triviaux u ∂ ∂u et φ(x, t) ∂ ∂u , où φ est une solution de (2) et peut se mettre sous la forme vτ = vyy +Z(τ, y)v (3) par le biais d’une transformation, appelée transformation d’équivalence de Lie, soit : y = α(x, t), τ = β(t), v = γ (y, τ )u(y, τ ), αx = 0, βt = 0. (4) Si l’équation (2) admet une extension de l’algèbre de Lie principale par un opérateur de symétrie supplémentaire, elle se réduit à la forme vτ = vyy +Z(y)v. (5) Si l’algèbre s’étend par trois operateurs supplémentaires (la partie finie de l’algèbre est de dimension 4), elle se réduit à la forme vτ − vyy + A y2 v = 0 où A est une constante. (6) Si Lp s’étend par cinq opérateurs, l’équation (2) se réduit à l’équation de chaleur vτ − vyy = 0. (7) Notre principal résultat est un critère sur le coefficient de diffusion, qui permet de décider quand une diffusion peut se mettre sous une des formes (6) ou (7). Étant donné que les diffusions considérées peuvent, comme dans le cas des diffusions CEV où g(x, t) = x1+β,β ∈ R, être dégénérées et que la transformation de Lie–Bluman y = ∫ x a 1 g(x′,t) dx ′ + ζ(t), qui suppose l’intégrabilité de 1/g, n’est pas dans ces cas-là bien définie, nous introduisons une classe de diffusions dégénérées qui n’est pas la plus générale possible mais qui permet, sans peine, d’appliquer la transformation de Lie–Bluman dans la plupart des cas rencontrés en physique et en mathématiques financières. Définition 0.2. Soit I = (l, r)⊂R un intervalle, pouvant être non borné. Soit Lu= ut − 2g(x, t)uxx = 0 une diffusion sur l’ intervalle I . Supposons que g(x, t) 0 soit continu sur I . Définissons de façon itérative un recouvrement fini ⋃ i[li , ri] = ⋃ i Ii = I de I avec pour centres associés mi , selon le procédé suivant : – Choisissons m1 avec g(m1, t) = 0 et définissons l1 et r1 par l1 = inf{x ∈ I : ∫ x m1 dx′ g(x′,t) > −∞}, r1 = sup{x ∈ I : ∫ x m1 dx′ g(x′,t) <+∞} et posons R− 1 = ∫ l1 m1 dx′ g(x′,t) ,R + 1 = ∫ r1 m1 dx′ g(x′,t) . – Ayant défini mi , R ± i et Ii pour i i0, définissons mi0+1 en choisissant mi0+1 ∈ I \ ⋃i0 i=1 Ii avec g(mi0+1, t) > 0 et par la suite en procédant comme ci-dessus. Définition 0.3. Nous disons qu’une diffusion Lu= 0 est modérémment degénérée si li , ri et mi peuvent être choisis indépendemment du temps et si ce recouvrement est fini. Proposition 0.4. Soit Lu = 0 une diffusion modéremment degénérée avec recouvrement associé C = {Ii = [li , ri] : i = 1, . . . , n}. Soit H(y, t) = ∫ y D(i) g̃(i)(y′, t)dy′ + mi , avec g̃ satisfaisant g̃(Y (x, t), t) = g(x, t), y = Y (x, t)= ∫ x ′ dx′ +D(i)(t). Pour chaque Ii ∈ C, mi g(x ,t) P. Carr et al. / C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 343 (2006) 393–398 395 – Une condition nécessaire et suffisante afin qu’une diffusion modéremment degénérée puisse se réduire à une forme canonique à quatre dimensions est qu’il existe λ = 0 et des coefficients A,B,C,D, tels que D̈ − 2AD = B et tels que pour chaque i, H satisfait l’EDP Ht − 1 2 Hyy + βHy = 0 pour y ∈ ( R− i ,R + i ) \ {D(i)(t)}, (8) et les conditions H(D +R− i , t)= li ,H(D, t)=mi,H(D(i) +R+ i , t)= ri où β =−(logα(i))y , avec α satisfaisant l’équation αt − 1 2 αyy + ( λ (y −D(i)(t))2 +A (i)(t)y2 +B(i)(t)y +C(i)(t) ) α = 0 (9) pour y ∈ (R− i ,R+ i )\{D(i)(t)}. Notons que le produit d’une solution de (8) et d’une solution de (9), c.à.d. Hα, satisfait aussi à (9) pour y =D(i)(t). Ce résultat peut être utilisé pour exhiber de nouvelles classes de diffusions dont la solution fondamentale peut s’exprimer sous forme explicite. Une simple extension de la méthode au cas avec drift met en lumière la structure de groupe sous-jacente du résultat de Feller [11] et une extension de certains résultats bien connus pour les procéssus CEV, dans le cas où leur coefficients peuvent dépendre du temps. Voir les exemples dans la version anglaise. Nous remercions Jean Damien Arterit qui nous a aidé à preparer la version française.